035. 삼각함수 sin, cos의 의미 (1) 피타고라스 정리가 삼각비의 기초
[수학클리닉]=웃음소리로 수학에서 영어 알파벳이 나오기 시작하면 어려워지고 그리스 문자가 나오면 더 어려워진다는 속설이 있다. 삼각함수는 중등 3학년 2학기 마지막 과정에 삼각비 형태로 등장한다.
- 직각삼각형의 세변의 길이 관계삼각함수를 알기 위해서는 먼저 삼각비를 알아야 하는데, 삼각비는 직각삼각형을 기초로 한 것이다. 삼각비는 직각 삼각형 중 한각이 30도인 것과 한각이 45도인 것을 기초로 한다.
- <그림 1>에서 밑변이 1이라면, 빗변은 2가 되고, 높이는 φ3임을 피타고라스의 정리를 활용하면 간단하게 알 수 있다.<그림2>는 이 삼각형을 쓰러뜨린 것이어서 별 차이가 없다.<그림 3>은 직각 이등변 삼각형이므로 등변의 길이가 1이라면, 빗변의 길이는 φ2가 된다.
2) 우변을 기준으로 높이 sin 하변 cos 이를 기초 삼각비라고 하는데, 우변을 분모로, 높이를 분자로 나타낸 것을 sin(사인)이라고 한다. 분수는 비례관계를 나타내므로 sin(사인)은 결국 우변을 기준으로 한 높이의 관계를 표시한다.빗변을 기준으로 한 밑변과의 관계는 cos(코사인)로, 밑변을 기준으로 한 높이와의 관계는 tan(탄젠트)으로 표기하여 읽는다.
이 삼각비의 기초값은 측량 현장에서 실용적으로 활용하고 있는 영원적으로는 탈레스가 이집트에서 피라미드의 높이를 측정할 때 삼각비를 활용했다는 이야기가 전해진다. 피타고라스 정리도 가능하다.
천문학에서는 지구에서 항성까지의 거리를 측정할 때 ‘연주 시차’를 사용한다. 지구는 태양을 중심으로 공전하므로 지구가 공전 주기의 양 끝에 위치할 때 관측한 별의 각도를 측정하는 것이다. 우주에서 관측 대상 별은 모두 항성이기 때문에 천구에 고정되어 있고 지구의 공전궤도는 크기를 알고 있다.따라서 지구의 공전궤도를 양끝으로 잡고 관측대상인 별까지의 관측각도를 측정해 거대한 삼각형을 그리고 삼각비를 활용해 거리를 계산하는 것이다.
3) sin 15, cos 15, tan 15 계산법
삼각비와 피타고라스 정리에 관하여 2019년3월 고1학평에서 기초적인 문제를 발췌했다.
12. 그림과 같이 반경의 길이가 8이고 중심각의 크기가 90°인 부채꼴 OAB에서 선분 OA 위에 OP=6이 되도록 점P를 취한다. 점P를 지나 선분 OA에 수직인 직선이 호 AB와 만나는 점을 Q라고 할 때 선분 AQ의 길이는? [3점]
해석 이 문제는 피타고라스 정리를 이해하고 있는지를 묻고 있다.
그림과 같이 2점 O와 Q를 선분으로 연결하면 선분 OQ의 길이는 부채꼴 OAB의 반경 길이와 같으므로 OQ=8선분 PQ와 선분 OA는 수직이므로 2개의 삼각형 OPQ와 삼각형 AQP는 직각 삼각형.
직각 삼각형 OPQ에서의 피타고라스의 정리에 따라